Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 217b = 191c = 93d = 1549
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 83% e una specificità del 93%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 20%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 83%Sp = 93%p = 20%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 47, 38, 45, 51.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 109.
μ = 100σ = 15x = 109
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 3,7. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 450 osservazioni?
95%n₁ = 50E₁ = 3,7n₂ = 450
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 7 parcelle, resa media 83,5 kg, deviazione standard 7 kg. Gruppo di parcelle 2: 10 parcelle, media 88,5 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 30 pezzi ha lunghezza media 66 mm, e la deviazione standard nota della linea è 14 mm. Linea 2: un campione di 100 pezzi ha media 58,2 mm, deviazione standard nota 5 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 121,9. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 121,9σ = 4n = 1699%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 6,38
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 217/310 = 0,7
Sp = 1549/1740 = 0,8902
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,7/(1 − 0,8902) = 6,377 ≈ 6,38
Risposta
LR+ = 6,38
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 74,8 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,83·0,2 = 0,166
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,07·0,8 = 0,056
Valore predittivo positivo
PPV = 0,166/(0,166 + 0,056) = 0,7477 ≈ 74,8%
Risposta
PPV = 74,8%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 5,263
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (109 − 100)/15 = 0,6
Risposta
z = 0,6
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 1,233
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/450) = 0,3333
Nuovo margine
E₂ = 3,7·0,3333 = 1,233
Risposta
E₂ = 1,233
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 8,183 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (6·7² + 9·4,5²)/15 = 31,75
sp = 5,635
Margine di errore
E = 2,947·5,635·√(1/7 + 1/10) = 8,183
Risposta
E = 8,183 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,995
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(14²/30 + 5²/100) = √6,783 = 2,604
Statistica test
z = (66 − 58,2)/2,604 = 2,995
Risposta
z = 2,995
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 119,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).