Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 110 pazienti con una malattia (casi) e 710 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 24b = 256c = 86d = 454
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 5% per una malattia. Un test con sensibilità del 91% e specificità del 71% risulta negativa. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 5%Se = 91%Sp = 71%negativa
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 50, 25, 36, 27, 30.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 64?
μ = 60σ = 10x = 64
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 8 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −5,2 e deviazione standard 5,3. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 8d̄ = −5,2sd = 5,399%t(7) = 3,499
E = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 24. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 24E = 595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 72,43 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,43s = 10n = 49
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ > 500 viene eseguito con α = 0,01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 25. In realtà la media è 504,75. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 500μ = 504,75σ = 25n = 100α = 0,01
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 0,49
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 24/86 = 0,2791
controlli: 256/454 = 0,5639
Odds ratio
OR = (24·454)/(256·86) = 0,4949 ≈ 0,49
Risposta
OR = 0,49
OR inferiore a 1: l’esposizione è meno comune tra i casi, il che suggerisce un effetto protettivo.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 0,7 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR− = (1 − 0,91)/0,71 = 0,1268
Odds pre-test
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Odds post-test
0,05263·0,1268 = 0,006672
Probabilità post-test
p′ = 0,006672/(1 + 0,006672) = 0,006627 ≈ 0,7%
Risposta
p′ = 0,7%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,06
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,4
Tavola della normale standard
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Risposta
P = 0,6554
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,557 mmHg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 7, t = 3,499
Margine di errore
E = 3,499·5,3/√8 = 6,557
Risposta
E = 6,557 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 89
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·24/5)² = 88,51
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 89
Risposta
n = 89
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,799
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Statistica test
t = (72,43 − 75)/1,429 = −1,799
Risposta
t = −1,799
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 33,51 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).