Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 220 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 840 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova la riduzione relativa del rischio RRR in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
trattamento: 4/220controllo: 42/840
RRR = %
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 80% e specificità 91%. La prevalenza della malattia è del 6%. Quanti risultati falsi positivi FP ci si aspetta?
N = 10 000p = 6%Se = 80%Sp = 91%
FP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 47, 53, 50, 10, 15.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 110?
μ = 100σ = 5x = 110
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 10,7. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% calcolato dagli stessi dati?
90%n₁ = 50E₁ = 10,795%
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 80 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 10 parcelle, media 69,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 12. Un campione casuale di 64 osservazioni ha media 77,18. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ < 80. Trova il p-value p.
μ₀ = 80σ = 12n = 64x̄ = 77,18H₁: μ < μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ < 80 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 75. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 80μ = 75σ = 20n = 100α = 0,05
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RRR = 63,6 %
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 4/220 = 0,01818
CER = 42/840 = 0,05
Riduzione relativa del rischio
ARR = 0,05 − 0,01818 = 0,03182
RRR = 0,03182/0,05 = 0,6364 ≈ 63,6%
Risposta
RRR = 63,6%
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FP = 846
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,06 = 600
10 000 − 600 = 9400
Falsi positivi
FP = 9400·0,09 = 846
Risposta
FP = 846
Dei 1326 positivi solo 480 hanno la malattia (VPP 36,2%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 18,54
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 12,75
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/50) = 1,191
Nuovo margine
E₂ = 10,7·1,191 = 12,75
Risposta
E₂ = 12,75
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 3,549 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·3² + 9·7,5²)/14 = 39,38
sp = 6,275
Margine di errore
E = 2,145·6,275·√(1/6 + 1/10) = 6,951
Intervallo
10,5 ± 6,951 → [3,549, 17,45]
Risposta
limite inferiore = 3,549 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,03005
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (77,18 − 80)/1,5 = −1,88
Area della coda
Φ(1,88) = 0,9699
1 − Φ(1,88) = 0,0301
p-value
p = 0,03005
Risposta
p = 0,03005
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 19,63 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).