Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 73% e una specificità del 80%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 73%Sp = 80%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un trattamento riduce il rischio di un evento del 17% in termini relativi (RRR = 17%). In un gruppo di pazienti il rischio senza trattamento (CER) è del 3% in cinque anni. Trova il numero necessario da trattare NNT per cinque anni per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
RRR = 17%CER = 3%
NNT =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 20, 26, 26, 35, 18, 39.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 108?
μ = 100σ = 20x = 108
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 96,5 e deviazione standard s = 5,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 11x̄ = 96,5s = 5,595%t(10) = 2,228
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 20 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 2,6 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 19, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 8,907 e il 2,5% sopra 32,852.
n = 20s = 2,6 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 5. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 98. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100. Trova il p-value p.
μ₀ = 100σ = 5n = 25x̄ = 98H₁: μ < μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 3 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 7. Trova la dimensione minima del campione n.
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,73)/0,8 = 0,3375 ≈ 0,34
Risposta
LR− = 0,34
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 197
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,03·0,17 = 0,0051
Numero necessario da trattare
NNT = 1/0,0051 = 196,1 → 197
Risposta
NNT = 197
Lo stesso effetto relativo dà un NNT più piccolo quando il rischio di base è più alto.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,57
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,4
Tavola della normale standard
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Risposta
P = 0,6554
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 3,695
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Margine di errore
E = 2,228·5,5/√11 = 3,695
Risposta
E = 3,695
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 3,797 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 19·2,6² = 128,4
Limiti per σ²
128,4/32,852 = 3,91
128,4/8,907 = 14,42
Limite per σ
σ = √14,42 = 3,797 µm
Risposta
σ = 3,797 µm
Intervallo al 95% per σ: [1,977, 3,797] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,02275
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (98 − 100)/1 = −2
Area della coda
Φ(2) = 0,9772
1 − Φ(2) = 0,0228
p-value
p = 0,02275
Risposta
p = 0,02275
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 47
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.