Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 77% e una specificità del 81%. Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 77%Sp = 81%
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 78% e specificità 79%. La prevalenza della malattia è del 3%. Quanti risultati positivi n₊ ci si aspetta in totale?
N = 10 000p = 3%Se = 78%Sp = 79%
n₊ =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 22, 51, 12, 42.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 84?
μ = 100σ = 8x = 84
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 48 e deviazione standard s = 3,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 25x̄ = 48s = 3,599%t(24) = 2,797
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 19E = 395%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 23 studenti, punteggio medio 61, deviazione standard 11,5. Gruppo 2: 8 studenti, punteggio medio 64,3, deviazione standard 3. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 23x̄₁ = 61s₁ = 11,5n₂ = 8x̄₂ = 64,3s₂ = 3
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 2,599%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 4,05
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,77/(1 − 0,81) = 4,053 ≈ 4,05
Risposta
LR+ = 4,05
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: n₊ = 2271
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,03 = 300
10 000 − 300 = 9700
Tutti i risultati positivi
TP = 300·0,78 = 234
FP = 9700·0,21 = 2037
n₊ = 234 + 2037 = 2271
Risposta
n₊ = 2271
Dei 2271 positivi solo 234 hanno la malattia (VPP 10,3%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,73
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Risposta
P = 0,02275
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 46,04
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margine di errore
E = 2,797·3,5/√25 = 1,958
Intervallo
48 ± 1,958 → [46,04, 49,96]
Risposta
limite inferiore = 46,04
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 155
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·19/3)² = 154,1
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 155
Risposta
n = 155
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,7941
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (22·11,5² + 7·3²)/29 = 102,5
sp = 10,12
Errore standard
SE = 10,12·√(1/23 + 1/8) = 4,156
Statistica test
t = (61 − 64,3)/4,156 = −0,7941
Risposta
t = −0,7941
Con df = 29, il valore critico bilaterale al 5% è 2,045; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 17
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).