Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 82% e una specificità del 74%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 82%Sp = 74%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 78% e una specificità del 93%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 10%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 78%Sp = 93%p = 10%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 58, 34, 33, 15, 53.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 100. Trova il punteggio z z di un voto pari a 625.
μ = 500σ = 100x = 625
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 28 e deviazione standard s = 5,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 25x̄ = 28s = 5,599%t(24) = 2,797
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 15. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 15E = 390%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 15. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 247,06. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ < 250. Trova il p-value p.
μ₀ = 250σ = 15n = 100x̄ = 247,06H₁: μ < μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 202,8. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 202,8σ = 15n = 6490%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,24
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,82)/0,74 = 0,2432 ≈ 0,24
Risposta
LR− = 0,24
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 55,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,78·0,1 = 0,078
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,07·0,9 = 0,063
Valore predittivo positivo
PPV = 0,078/(0,078 + 0,063) = 0,5532 ≈ 55,3%
Risposta
PPV = 55,3%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,99
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (625 − 500)/100 = 1,25
Risposta
z = 1,25
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 24,92
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margine di errore
E = 2,797·5,5/√25 = 3,077
Intervallo
28 ± 3,077 → [24,92, 31,08]
Risposta
limite inferiore = 24,92
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 68
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·15/3)² = 67,65
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 68
Risposta
n = 68
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,025
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (247,06 − 250)/1,5 = −1,96
Area della coda
Φ(1,96) = 0,9750
1 − Φ(1,96) = 0,0250
p-value
p = 0,025
Risposta
p = 0,025
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 205,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).