Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 300 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 990 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto un effetto collaterale. Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 103/300controllo: 188/990
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 71% e specificità 96%. La prevalenza della malattia è del 20%. Quanti risultati veri positivi TP ci si aspetta?
N = 10 000p = 20%Se = 71%Sp = 96%
TP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 30, 10, 27, 37, 25, 55.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 40. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 452?
μ = 500σ = 40x = 452
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 8 elementi ha media 65,5 e deviazione standard s = 14,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 8x̄ = 65,5s = 14,590%t(7) = 1,895
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 14 parcelle, resa media 95 kg, deviazione standard 1 kg. Gruppo di parcelle 2: 12 parcelle, media 106 kg, deviazione standard 6 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 104,3 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104,3s = 15n = 36
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ < 200 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 15. In realtà la media è 196.4. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 200μ = 196,4σ = 15n = 25α = 0,10
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RR = 1,81
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 103/300 = 0,3433
CER = 188/990 = 0,1899
Rischio relativo
RR = 0,3433/0,1899 = 1,808 ≈ 1,81
Risposta
RR = 1,81
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: TP = 1420
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,2 = 2000
10 000 − 2000 = 8000
Veri positivi
TP = 2000·0,71 = 1420
Risposta
TP = 1420
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,57
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,2
Tavola della normale standard
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Risposta
P = 0,1151
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 9,715
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margine di errore
E = 1,895·14,5/√8 = 9,715
Risposta
E = 9,715
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,542 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (13·1² + 11·6²)/24 = 17,04
sp = 4,128
Margine di errore
E = 2,797·4,128·√(1/14 + 1/12) = 4,542
Risposta
E = 4,542 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,72
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statistica test
t = (104,3 − 100)/2,5 = 1,72
Risposta
t = 1,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 46,73 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).