Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 320 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 620 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 45/320controllo: 174/620
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 77% e una specificità del 97%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 10%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 77%Sp = 97%p = 10%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 56, 34, 27, 34, 40, 17.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Quale proporzione P dei valori è superiore a 537,5?
μ = 500σ = 25x = 537,5
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 6 elementi ha media 29 e deviazione standard s = 8. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 6x̄ = 29s = 895%t(5) = 2,571
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 34. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?
σ = 34E = 490%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 9 studenti, punteggio medio 68,5, deviazione standard 7,5. Gruppo 2: 7 studenti, punteggio medio 56,7, deviazione standard 7. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 9x̄₁ = 68,5s₁ = 7,5n₂ = 7x̄₂ = 56,7s₂ = 7
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 10E = 199%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RR = 0,5
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 45/320 = 0,1406
CER = 174/620 = 0,2806
Rischio relativo
RR = 0,1406/0,2806 = 0,5011 ≈ 0,5
Risposta
RR = 0,5
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 97,4 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,97·0,9 = 0,873
(1 − Se)·p = 0,23·0,1 = 0,023
Valore predittivo negativo
NPV = 0,873/(0,873 + 0,023) = 0,9743 ≈ 97,4%
Risposta
NPV = 97,4%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,08
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,5
Tavola della normale standard
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 20,6
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Margine di errore
E = 2,571·8/√6 = 8,397
Intervallo
29 ± 8,397 → [20,6, 37,4]
Risposta
limite inferiore = 20,6
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 196
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·34/4)² = 195,5
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 196
Risposta
n = 196
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 3,212
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (8·7,5² + 6·7²)/14 = 53,14
sp = 7,29
Errore standard
SE = 7,29·√(1/9 + 1/7) = 3,674
Statistica test
t = (68,5 − 56,7)/3,674 = 3,212
Risposta
t = 3,212
Con df = 14, il valore critico bilaterale al 5% è 2,145; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 664
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).