Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 5200 persone-anno e 135 nuovi casi, e quelle non esposte con 1700 persone-anno e 22 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 135/5200 PYnon esposti: 22/1700 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 50% per una malattia. Un test con sensibilità del 64% e specificità del 73% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 50%Se = 64%Sp = 73%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 34, 30, 53, 23, 14, 51, 44.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 52,5.
μ = 60σ = 15x = 52,5
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 44 e deviazione standard s = 1. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 13x̄ = 44s = 195%t(12) = 2,179
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,6 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,03?
p ≈ 0,6E = 0,0390%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 18. Un campione casuale di 36 osservazioni ha media 242,8. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ < 250. Trova il p-value p.
μ₀ = 250σ = 18n = 36x̄ = 242,8H₁: μ < μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 45,2. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 45,2σ = 8n = 2590%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 2,01
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 135/5200 = 25,96 per 1000 persone-anno
non esposti: 22/1700 = 12,94 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 25,96/12,94 = 2,006 ≈ 2,01
Risposta
IRR = 2,01
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 70,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,64/(1 − 0,73) = 2,37
Odds pre-test
0,5/(1 − 0,5) = 1
Odds post-test
1·2,37 = 2,37
Probabilità post-test
p′ = 2,37/(1 + 2,37) = 0,7033 ≈ 70,3%
Risposta
p′ = 70,3%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,55
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (52,5 − 60)/15 = −0,5
Risposta
z = −0,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 43,4
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margine di errore
E = 2,179·1/√13 = 0,6043
Intervallo
44 ± 0,6043 → [43,4, 44,6]
Risposta
limite inferiore = 43,4
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 722
Intervallo di confidenza per una proporzione: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dove p̂ = x/n. Per ottenere un margine E serve n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrotondato per eccesso; senza una stima preliminare usa p = 0,5, che dà il valore di n più grande.
Ricava n
n = 1,645²·0,6·0,4/0,03² = 721,6
Arrotonda per eccesso
n = 722
Risposta
n = 722
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,008198
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (242,8 − 250)/3 = −2,4
Area della coda
Φ(2,4) = 0,9918
1 − Φ(2,4) = 0,0082
p-value
p = 0,008198
Risposta
p = 0,008198
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 42,57
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).