Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 87% e una specificità del 65%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 87%Sp = 65%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 80% e una specificità del 97%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 20%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 80%Sp = 97%p = 20%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 16, 56, 29, 27.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 40.
μ = 70σ = 20x = 40
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 117 e deviazione standard s = 2. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 16x̄ = 117s = 290%t(15) = 1,753
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 15 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 14, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 5,629 e il 2,5% sopra 26,119.
n = 15s = 10,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 30 pezzi ha lunghezza media 129,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 19 mm. Linea 2: un campione di 40 pezzi ha media 120,3 mm, deviazione standard nota 19 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 2,5 unità con una potenza del 95%. La deviazione standard è 17. Trova la dimensione minima del campione n.
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,87)/0,65 = 0,2
Risposta
LR− = 0,2
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 87 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,8·0,2 = 0,16
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,03·0,8 = 0,024
Valore predittivo positivo
PPV = 0,16/(0,16 + 0,024) = 0,8696 ≈ 87%
Risposta
PPV = 87%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,56
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (40 − 70)/20 = −1,5
Risposta
z = −1,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 117,9
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margine di errore
E = 1,753·2/√16 = 0,8765
Intervallo
117 ± 0,8765 → [116,1, 117,9]
Risposta
limite superiore = 117,9
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 7,98 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 14·10,9² = 1663
Limiti per σ²
1663/26,119 = 63,68
1663/5,629 = 295,5
Limite per σ
σ = √63,68 = 7,98 µm
Risposta
σ = 7,98 µm
Intervallo al 95% per σ: [7,98, 17,19] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,005
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(19²/30 + 19²/40) = √21,06 = 4,589
Statistica test
z = (129,5 − 120,3)/4,589 = 2,005
Risposta
z = 2,005
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 730
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.