Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 83% e una specificità del 85%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 83%Sp = 85%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 84% e specificità 86%. La prevalenza della malattia è del 18%. Quanti risultati veri positivi TP ci si aspetta?
N = 10 000p = 18%Se = 84%Sp = 86%
TP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 23, 55, 48, 43, 27, 20.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 182.
μ = 170σ = 12x = 182
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 83,5 e deviazione standard s = 15,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 13x̄ = 83,5s = 15,599%t(12) = 3,055
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 11 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 3,8 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 10, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 3,247 e il 2,5% sopra 20,483.
n = 11s = 3,8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
9 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 3,81 e la deviazione standard delle differenze è 8,8. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = 3,81sd = 8,8
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 16. In realtà la media è 44.4. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 50μ = 44,4σ = 16n = 64α = 0,01
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,2
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,83)/0,85 = 0,2
Risposta
LR− = 0,2
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: TP = 1512
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
Veri positivi
TP = 1800·0,84 = 1512
Risposta
TP = 1512
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,31
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (182 − 170)/12 = 1
Risposta
z = 1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 13,13
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margine di errore
E = 3,055·15,5/√13 = 13,13
Risposta
E = 13,13
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 2,655 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 10·3,8² = 144,4
Limiti per σ²
144,4/20,483 = 7,05
144,4/3,247 = 44,47
Limite per σ
σ = √7,05 = 2,655 µm
Risposta
σ = 2,655 µm
Intervallo al 95% per σ: [2,655, 6,669] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,299
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 8,8/√9 = 2,933
Statistica test
t = 3,81/2,933 = 1,299
Risposta
t = 1,299
Con df = 8, il valore critico bilaterale al 5% è 2,306; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 68,23 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).