Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 240 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 200 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova la riduzione assoluta del rischio ARR in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
trattamento: 48/240controllo: 66/200
ARR = %
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 97% e specificità 99%. La prevalenza della malattia è del 24%. Quanti risultati positivi n₊ ci si aspetta in totale?
N = 10 000p = 24%Se = 97%Sp = 99%
n₊ =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 48, 47, 31, 57, 10, 54.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 85.
μ = 70σ = 12x = 85
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 68,5 e deviazione standard s = 8,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 25x̄ = 68,5s = 8,599%t(24) = 2,797
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,6 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,05?
p ≈ 0,6E = 0,0599%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 202,7 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202,7s = 20n = 81
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 121,5. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 121,5σ = 10n = 10095%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: ARR = 13 %
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 48/240 = 0,2
CER = 66/200 = 0,33
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,33 − 0,2 = 0,13 = 13%
Risposta
ARR = 13%
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: n₊ = 2404
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,24 = 2400
10 000 − 2400 = 7600
Tutti i risultati positivi
TP = 2400·0,97 = 2328
FP = 7600·0,01 = 76
n₊ = 2328 + 76 = 2404
Risposta
n₊ = 2404
Dei 2404 positivi solo 2328 hanno la malattia (VPP 96,8%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,72
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (85 − 70)/12 = 1,25
Risposta
z = 1,25
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 63,75
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margine di errore
E = 2,797·8,5/√25 = 4,755
Intervallo
68,5 ± 4,755 → [63,75, 73,25]
Risposta
limite inferiore = 63,75
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 638
Intervallo di confidenza per una proporzione: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dove p̂ = x/n. Per ottenere un margine E serve n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrotondato per eccesso; senza una stima preliminare usa p = 0,5, che dà il valore di n più grande.
Ricava n
n = 2,576²·0,6·0,4/0,05² = 637
Arrotonda per eccesso
n = 638
Risposta
n = 638
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,215
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Statistica test
t = (202,7 − 200)/2,222 = 1,215
Risposta
t = 1,215
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 119,5
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).