Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 25 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
560 × 1,5 anni290 × 2,5 anni25 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 72% e una specificità del 85%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 0,5%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 72%Sp = 85%p = 0,5%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 28, 15, 60, 16, 37.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 85?
μ = 60σ = 20x = 85
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 137,5 h, deviazione standard nota 16 h. Modello 2: 50 telefoni, media 149 h, deviazione standard nota 13 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 7 parcelle, resa media 44,5 kg, deviazione standard 2 kg. Gruppo di parcelle 2: 19 parcelle, media 33 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 10 studenti, punteggio medio 85,5, deviazione standard 2. Gruppo 2: 6 studenti, punteggio medio 91, deviazione standard 9,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 10x̄₁ = 85,5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 91s₂ = 9,5
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 203,1. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 203,1σ = 10n = 6499%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 16 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 560·1,5 + 290·2,5 = 1565
Tasso di incidenza
IR = 25/1565·1000 = 16 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 16 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 99,8 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,85·0,995 = 0,8458
(1 − Se)·p = 0,28·0,005 = 0,0014
Valore predittivo negativo
NPV = 0,8458/(0,8458 + 0,0014) = 0,9983 ≈ 99,8%
Risposta
NPV = 99,8%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 20,29
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Risposta
P = 0,1056
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −7,28 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 137,5 − 149 = −11,5
Errore standard
SE = √(16²/80 + 13²/50) = 2,565
Margine di errore
E = 1,645·2,565 = 4,22
Intervallo
−11,5 ± 4,22 → [−15,72, −7,28]
Risposta
limite superiore = −7,28 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 14,54 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (6·2² + 18·4,5²)/24 = 16,19
sp = 4,023
Margine di errore
E = 1,711·4,023·√(1/7 + 1/19) = 3,044
Intervallo
11,5 ± 3,044 → [8,456, 14,54]
Risposta
limite superiore = 14,54 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,805
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (9·2² + 5·9,5²)/14 = 34,8
sp = 5,899
Errore standard
SE = 5,899·√(1/10 + 1/6) = 3,046
Statistica test
t = (85,5 − 91)/3,046 = −1,805
Risposta
t = −1,805
Con df = 14, il valore critico bilaterale al 5% è 2,145; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 206,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).