Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 510 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 750 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 139/510controllo: 255/750
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 86% e specificità 75%. La prevalenza della malattia è del 27%. Quanti risultati positivi n₊ ci si aspetta in totale?
N = 10 000p = 27%Se = 86%Sp = 75%
n₊ =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 15, 29, 51, 27, 11, 35, 31.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 200.
μ = 170σ = 15x = 200
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 12 elementi ha media 101 e deviazione standard s = 12. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 12x̄ = 101s = 1290%t(11) = 1,796
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 11 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 2,8 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 10, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 3,247 e il 2,5% sopra 20,483.
n = 11s = 2,8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 493,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 493,8s = 12n = 25
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ > 500 viene eseguito con α = 0,05 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 15. In realtà la media è 510,5. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 500μ = 510,5σ = 15n = 25α = 0,05
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RR = 0,8
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 139/510 = 0,2725
CER = 255/750 = 0,34
Rischio relativo
RR = 0,2725/0,34 = 0,8016 ≈ 0,8
Risposta
RR = 0,8
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: n₊ = 4147
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300
Tutti i risultati positivi
TP = 2700·0,86 = 2322
FP = 7300·0,25 = 1825
n₊ = 2322 + 1825 = 4147
Risposta
n₊ = 4147
Dei 4147 positivi solo 2322 hanno la malattia (VPP 56%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,2
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (200 − 170)/15 = 2
Risposta
z = 2
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 94,78
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Margine di errore
E = 1,796·12/√12 = 6,222
Intervallo
101 ± 6,222 → [94,78, 107,2]
Risposta
limite inferiore = 94,78
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 4,914 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 10·2,8² = 78,4
Limiti per σ²
78,4/20,483 = 3,828
78,4/3,247 = 24,15
Limite per σ
σ = √24,15 = 4,914 µm
Risposta
σ = 4,914 µm
Intervallo al 95% per σ: [1,956, 4,914] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,583
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statistica test
t = (493,8 − 500)/2,4 = −2,583
Risposta
t = −2,583
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 96,82 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).