Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 45 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
280 × 5 anni120 × 4 anni410 × 2,5 anni45 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 89% e specificità 77%. La prevalenza della malattia è del 18%. Quanti risultati veri positivi TP ci si aspetta?
N = 10 000p = 18%Se = 89%Sp = 77%
TP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 36, 41, 47, 25, 58, 56.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 165?
μ = 170σ = 5x = 165
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 16 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −7,5 e deviazione standard 7,5. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 16d̄ = −7,5sd = 7,599%t(15) = 2,947
limite inferiore = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 5,3 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.
n = 21s = 5,3 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 10 studenti, punteggio medio 45,5, deviazione standard 9,5. Gruppo 2: 11 studenti, punteggio medio 47,3, deviazione standard 3. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 10x̄₁ = 45,5s₁ = 9,5n₂ = 11x̄₂ = 47,3s₂ = 3
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 131,6. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 131,6σ = 20n = 2599%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 15,5 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 280·5 + 120·4 + 410·2,5 = 2905
Tasso di incidenza
IR = 45/2905·1000 = 15,5 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 15,5 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: TP = 1602
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
Veri positivi
TP = 1800·0,89 = 1602
Risposta
TP = 1602
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,59
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −13,03 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 15, t = 2,947
Margine di errore
E = 2,947·7,5/√16 = 5,526
Intervallo
−7,5 ± 5,526 → [−13,03, −1,974]
Risposta
limite inferiore = −13,03 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 7,653 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 20·5,3² = 561,8
Limiti per σ²
561,8/34,17 = 16,44
561,8/9,591 = 58,58
Limite per σ
σ = √58,58 = 7,653 µm
Risposta
σ = 7,653 µm
Intervallo al 95% per σ: [4,055, 7,653] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,5978
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (9·9,5² + 10·3²)/19 = 47,49
sp = 6,891
Errore standard
SE = 6,891·√(1/10 + 1/11) = 3,011
Statistica test
t = (45,5 − 47,3)/3,011 = −0,5978
Risposta
t = −0,5978
Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 121,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).