Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 7 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
590 × 1,5 anni490 × 0,5 anni7 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 96% e una specificità del 81%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 1%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 96%Sp = 81%p = 1%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 28, 53, 10, 43, 33.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 66.
μ = 70σ = 8x = 66
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 8 elementi ha media 31,5 e deviazione standard s = 1. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 8x̄ = 31,5s = 190%t(7) = 1,895
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 56,5 kg, deviazione standard 5 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 45,5 kg, deviazione standard 4 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 18. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 82,16. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ ≠ 80. Trova il p-value p.
μ₀ = 80σ = 18n = 144x̄ = 82,16H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 140 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 197 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 197n₂ = 250
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 6,2 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 590·1,5 + 490·0,5 = 1130
Tasso di incidenza
IR = 7/1130·1000 = 6,2 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 6,2 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 4,9 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,96·0,01 = 0,0096
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,19·0,99 = 0,1881
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0096/(0,0096 + 0,1881) = 0,04856 ≈ 4,9%
Risposta
PPV = 4,9%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,14
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (66 − 70)/8 = −0,5
Risposta
z = −0,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 32,17
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margine di errore
E = 1,895·1/√8 = 0,67
Intervallo
31,5 ± 0,67 → [30,83, 32,17]
Risposta
limite superiore = 32,17
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 5,23 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·5² + 7·4²)/12 = 19,75
sp = 4,444
Margine di errore
E = 2,179·4,444·√(1/6 + 1/8) = 5,23
Risposta
E = 5,23 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1499
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (82,16 − 80)/1,5 = 1,44
Area della coda
Φ(1,44) = 0,9251
1 − Φ(1,44) = 0,0749
p-value
p = 2·0,0749 = 0,1499
Risposta
p = 0,1499
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,139
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 140/200 = 0,7
p̂₂ = 197/250 = 0,788
p̂ = 337/450 = 0,7489
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,7489·0,2511·(1/200 + 1/250)) = 0,04114
Statistica test
z = (0,7 − 0,788)/0,04114 = −2,139
Risposta
z = −2,139
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).