Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 660 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 470 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto un effetto collaterale. Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 120/660controllo: 66/470
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 25% per una malattia. Un test con sensibilità del 90% e specificità del 69% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 25%Se = 90%Sp = 69%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 14, 10, 30, 57, 40, 26.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 52,5.
μ = 60σ = 15x = 52,5
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 60,5 e deviazione standard s = 18,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 25x̄ = 60,5s = 18,590%t(24) = 1,711
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 76,5 kg, deviazione standard 2 kg. Gruppo di parcelle 2: 13 parcelle, media 77 kg, deviazione standard 7 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 52,63 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 10n = 64
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 125 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 60 su 100 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 60n₂ = 100
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RR = 1,29
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 120/660 = 0,1818
CER = 66/470 = 0,1404
Rischio relativo
RR = 0,1818/0,1404 = 1,295 ≈ 1,29
Risposta
RR = 1,29
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 49,2 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,9/(1 − 0,69) = 2,903
Odds pre-test
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Odds post-test
0,3333·2,903 = 0,9677
Probabilità post-test
p′ = 0,9677/(1 + 0,9677) = 0,4918 ≈ 49,2%
Risposta
p′ = 49,2%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,86
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (52,5 − 60)/15 = −0,5
Risposta
z = −0,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,331
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Margine di errore
E = 1,711·18,5/√25 = 6,331
Risposta
E = 6,331
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 6,82 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (7·2² + 12·7²)/19 = 32,42
sp = 5,694
Margine di errore
E = 2,861·5,694·√(1/8 + 1/13) = 7,32
Intervallo
−0,5 ± 7,32 → [−7,82, 6,82]
Risposta
limite superiore = 6,82 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,104
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statistica test
t = (52,63 − 50)/1,25 = 2,104
Risposta
t = 2,104
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,693
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 125/250 = 0,5
p̂₂ = 60/100 = 0,6
p̂ = 185/350 = 0,5286
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,5286·0,4714·(1/250 + 1/100)) = 0,05906
Statistica test
z = (0,5 − 0,6)/0,05906 = −1,693
Risposta
z = −1,693
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).