Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 4600 persone-anno e 345 nuovi casi, e quelle non esposte con 3300 persone-anno e 83 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 345/4600 PYnon esposti: 83/3300 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 84% e una specificità del 82%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 0,5%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 84%Sp = 82%p = 0,5%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 37, 20, 18, 25, 58.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 100. Trova il punteggio z z di un voto pari a 450.
μ = 500σ = 100x = 450
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 109 e deviazione standard s = 1. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 13x̄ = 109s = 195%t(12) = 2,179
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 34. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 34E = 399%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 10. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 124,36. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ ≠ 120. Trova il p-value p.
μ₀ = 120σ = 10n = 25x̄ = 124,36H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 93.4. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 100μ = 93,4σ = 20n = 100α = 0,01
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 2,98
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 345/4600 = 75 per 1000 persone-anno
non esposti: 83/3300 = 25,15 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 75/25,15 = 2,982 ≈ 2,98
Risposta
IRR = 2,98
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 2,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,84·0,005 = 0,0042
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,18·0,995 = 0,1791
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0042/(0,0042 + 0,1791) = 0,02291 ≈ 2,3%
Risposta
PPV = 2,3%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 18,77
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (450 − 500)/100 = −0,5
Risposta
z = −0,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 0,6043
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margine di errore
E = 2,179·1/√13 = 0,6043
Risposta
E = 0,6043
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 853
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·34/3)² = 852,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 853
Risposta
n = 853
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,02926
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (124,36 − 120)/2 = 2,18
Area della coda
Φ(2,18) = 0,9854
1 − Φ(2,18) = 0,0146
p-value
p = 2·0,0146 = 0,02926
Risposta
p = 0,02926
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 16,5 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).