Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 169b = 347c = 11d = 1163
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 10% per una malattia. Un test con sensibilità del 77% e specificità del 61% risulta negativa. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 10%Se = 77%Sp = 61%negativa
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 11, 27, 46, 53, 52.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 177,2.
μ = 170σ = 12x = 177,2
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 20 elementi ha media 22 e deviazione standard s = 13. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 20x̄ = 22s = 1395%t(19) = 2,093
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 13 parcelle, resa media 34 kg, deviazione standard 1 kg. Gruppo di parcelle 2: 13 parcelle, media 45,5 kg, deviazione standard 8 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 9 studenti, punteggio medio 90,5, deviazione standard 2. Gruppo 2: 5 studenti, punteggio medio 83,6, deviazione standard 8,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 9x̄₁ = 90,5s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 83,6s₂ = 8,5
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 60 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 16 su 200 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 16n₂ = 200
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 4,09
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 169/180 = 0,9389
Sp = 1163/1510 = 0,7702
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,9389/(1 − 0,7702) = 4,086 ≈ 4,09
Risposta
LR+ = 4,09
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 4 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR− = (1 − 0,77)/0,61 = 0,377
Odds pre-test
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
Odds post-test
0,1111·0,377 = 0,04189
Probabilità post-test
p′ = 0,04189/(1 + 0,04189) = 0,04021 ≈ 4%
Risposta
p′ = 4%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 18,27
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (177,2 − 170)/12 = 0,6
Risposta
z = 0,6
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 28,08
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margine di errore
E = 2,093·13/√20 = 6,084
Intervallo
22 ± 6,084 → [15,92, 28,08]
Risposta
limite superiore = 28,08
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −7,674 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (12·1² + 12·8²)/24 = 32,5
sp = 5,701
Margine di errore
E = 1,711·5,701·√(1/13 + 1/13) = 3,826
Intervallo
−11,5 ± 3,826 → [−15,33, −7,674]
Risposta
limite superiore = −7,674 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,392
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (8·2² + 4·8,5²)/12 = 26,75
sp = 5,172
Errore standard
SE = 5,172·√(1/9 + 1/5) = 2,885
Statistica test
t = (90,5 − 83,6)/2,885 = 2,392
Risposta
t = 2,392
Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 3,661
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 60/300 = 0,2
p̂₂ = 16/200 = 0,08
p̂ = 76/500 = 0,152
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,152·0,848·(1/300 + 1/200)) = 0,03277
Statistica test
z = (0,2 − 0,08)/0,03277 = 3,661
Risposta
z = 3,661
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).