Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 590 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 850 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 87/590controllo: 179/850
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 76% e una specificità del 82%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 5%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 76%Sp = 82%p = 5%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 27, 35, 20, 45, 42, 44.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 67,5.
μ = 60σ = 5x = 67,5
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 11 e deviazione standard s = 7,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 25x̄ = 11s = 7,590%t(24) = 1,711
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 10 parcelle, resa media 85 kg, deviazione standard 1,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 16 parcelle, media 81 kg, deviazione standard 6 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 46,9 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,9s = 4n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 36 misure ha media 122,5. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 122,5σ = 5n = 3699%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RR = 0,7
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 87/590 = 0,1475
CER = 179/850 = 0,2106
Rischio relativo
RR = 0,1475/0,2106 = 0,7002 ≈ 0,7
Risposta
RR = 0,7
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 98,5 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,82·0,95 = 0,779
(1 − Se)·p = 0,24·0,05 = 0,012
Valore predittivo negativo
NPV = 0,779/(0,779 + 0,012) = 0,9848 ≈ 98,5%
Risposta
NPV = 98,5%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,17
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (67,5 − 60)/5 = 1,5
Risposta
z = 1,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 8,433
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Margine di errore
E = 1,711·7,5/√25 = 2,567
Intervallo
11 ± 2,567 → [8,433, 13,57]
Risposta
limite inferiore = 8,433
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 0,6676 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (9·1,5² + 15·6²)/24 = 23,34
sp = 4,832
Margine di errore
E = 1,711·4,832·√(1/10 + 1/16) = 3,332
Intervallo
4 ± 3,332 → [0,6676, 7,332]
Risposta
limite inferiore = 0,6676 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,1
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistica test
t = (46,9 − 50)/1 = −3,1
Risposta
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 124,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).