Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 141b = 155c = 79d = 705
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Senza il farmaco, il 27% dei pazienti presenta un certo effetto collaterale nell’arco di un anno. Il farmaco aumenta questo rischio con un rischio relativo RR = 1,27. Trova il numero necessario per nuocere NNH: quanti pazienti devono assumere il farmaco per un anno perché un paziente in più presenti l’effetto collaterale? Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
controllo 27%RR = 1,27
NNH =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 18, 24, 47, 39, 23, 30, 25.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è superiore a 72,5?
μ = 60σ = 10x = 72,5
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 9 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 5,9 e deviazione standard 1,2. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 9d̄ = 5,9sd = 1,299%t(8) = 3,355
limite inferiore = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,025?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 89,67 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 89,67s = 20n = 36
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,05 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 85,2. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 80μ = 85,2σ = 12n = 36α = 0,05
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 3,56
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 141/220 = 0,6409
Sp = 705/860 = 0,8198
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,6409/(1 − 0,8198) = 3,556 ≈ 3,56
Risposta
LR+ = 3,56
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNH = 14
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rischio con il farmaco
0,27·1,27 = 0,3429
Aumento assoluto del rischio
ARI = 0,3429 − 0,27 = 0,0729
Numero necessario per nuocere
NNH = 1/0,0729 = 13,72 → 14
Risposta
NNH = 14
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,18
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Risposta
P = 0,1056
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 4,558 mmHg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 8, t = 3,355
Margine di errore
E = 3,355·1,2/√9 = 1,342
Intervallo
5,9 ± 1,342 → [4,558, 7,242]
Risposta
limite inferiore = 4,558 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1083
Intervallo di confidenza per una proporzione: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dove p̂ = x/n. Per ottenere un margine E serve n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrotondato per eccesso; senza una stima preliminare usa p = 0,5, che dà il valore di n più grande.
Ricava n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Arrotonda per eccesso
n = 1083
Risposta
n = 1083
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,099
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statistica test
t = (89,67 − 100)/3,333 = −3,099
Risposta
t = −3,099
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 83,02 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).