Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 320 pazienti con una malattia (casi) e 160 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 252b = 77c = 68d = 83
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 71% e una specificità del 85%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 30%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 71%Sp = 85%p = 30%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 40, 53, 40, 47.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 75.
μ = 60σ = 15x = 75
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 60 telefoni, media 52 h, deviazione standard nota 11 h. Modello 2: 30 telefoni, media 55,5 h, deviazione standard nota 19 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 6. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 6E = 1,595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 24. Un campione casuale di 36 osservazioni ha media 126. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ ≠ 120. Trova il p-value p.
μ₀ = 120σ = 24n = 36x̄ = 126H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 108. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 108σ = 20n = 2599%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 3,99
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 252/68 = 3,706
controlli: 77/83 = 0,9277
Odds ratio
OR = (252·83)/(77·68) = 3,995 ≈ 3,99
Risposta
OR = 3,99
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 67 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,71·0,3 = 0,213
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,15·0,7 = 0,105
Valore predittivo positivo
PPV = 0,213/(0,213 + 0,105) = 0,6698 ≈ 67%
Risposta
PPV = 67%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,83
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (75 − 60)/15 = 1
Risposta
z = 1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −9,666 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 52 − 55,5 = −3,5
Errore standard
SE = √(11²/60 + 19²/30) = 3,748
Margine di errore
E = 1,645·3,748 = 6,166
Intervallo
−3,5 ± 6,166 → [−9,666, 2,666]
Risposta
limite inferiore = −9,666 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 62
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·6/1,5)² = 61,47
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 62
Risposta
n = 62
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1336
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (126 − 120)/4 = 1,5
Area della coda
Φ(1,5) = 0,9332
1 − Φ(1,5) = 0,0668
p-value
p = 2·0,0668 = 0,1336
Risposta
p = 0,1336
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 118,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).