Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 30 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
260 × 1 anno450 × 2 anni300 × 4 anni30 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 80% e specificità 79%. La prevalenza della malattia è del 18%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 18%Se = 80%Sp = 79%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 28, 19, 17, 35, 34, 54, 21.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Trova il punteggio z z di un voto pari a 530.
μ = 500σ = 75x = 530
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 100 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7,6. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% calcolato dagli stessi dati?
90%n₁ = 100E₁ = 7,699%
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 98,5 kg, deviazione standard 9 kg. Gruppo di parcelle 2: 21 parcelle, media 99,5 kg, deviazione standard 3,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 201,6 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,6s = 5n = 81
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 163 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 193 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 193n₂ = 250
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 12,7 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 260·1 + 450·2 + 300·4 = 2360
Tasso di incidenza
IR = 30/2360·1000 = 12,7 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 12,7 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 360
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
Falsi negativi
FN = 1800·0,2 = 360
Risposta
FN = 360
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,85
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (530 − 500)/75 = 0,4
Risposta
z = 0,4
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 11,9
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/100) = 1,566
Nuovo margine
E₂ = 7,6·1,566 = 11,9
Risposta
E₂ = 11,9
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −5,146 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (4·9² + 20·3,5²)/24 = 23,71
sp = 4,869
Margine di errore
E = 1,711·4,869·√(1/5 + 1/21) = 4,146
Intervallo
−1 ± 4,146 → [−5,146, 3,146]
Risposta
limite inferiore = −5,146 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,88
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statistica test
t = (201,6 − 200)/0,5556 = 2,88
Risposta
t = 2,88
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,963
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 163/250 = 0,652
p̂₂ = 193/250 = 0,772
p̂ = 356/500 = 0,712
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,712·0,288·(1/250 + 1/250)) = 0,0405
Statistica test
z = (0,652 − 0,772)/0,0405 = −2,963
Risposta
z = −2,963
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).