Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 190 pazienti con una malattia (casi) e 270 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 76b = 68c = 114d = 202
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 92% e una specificità del 86%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 3%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 92%Sp = 86%p = 3%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 39, 50, 26, 58, 18.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 155?
μ = 170σ = 15x = 155
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 105,5 h, deviazione standard nota 10 h. Modello 2: 60 telefoni, media 98 h, deviazione standard nota 6 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 36. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 36E = 2,595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 53,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 53,6s = 12n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 4 unità con una potenza del 95%. La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 76/114 = 0,6667
controlli: 68/202 = 0,3366
Odds ratio
OR = (76·202)/(68·114) = 1,98
Risposta
OR = 1,98
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 16,9 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,92·0,03 = 0,0276
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,14·0,97 = 0,1358
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0276/(0,0276 + 0,1358) = 0,1689 ≈ 16,9%
Risposta
PPV = 16,9%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,77
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 10,17 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 105,5 − 98 = 7,5
Errore standard
SE = √(10²/80 + 6²/60) = 1,36
Margine di errore
E = 1,96·1,36 = 2,666
Intervallo
7,5 ± 2,666 → [4,834, 10,17]
Risposta
limite superiore = 10,17 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 797
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·36/2,5)² = 796,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 797
Risposta
n = 797
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statistica test
t = (53,6 − 50)/3 = 1,2
Risposta
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 98
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.