Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 3300 persone-anno e 165 nuovi casi, e quelle non esposte con 6100 persone-anno e 153 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 165/3300 PYnon esposti: 153/6100 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un trattamento riduce il rischio di un evento del 24% in termini relativi (RRR = 24%). In un gruppo di pazienti il rischio senza trattamento (CER) è del 26% in cinque anni. Trova il numero necessario da trattare NNT per cinque anni per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
RRR = 24%CER = 26%
NNT =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 22, 33, 54, 55, 33, 51.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 58?
μ = 70σ = 8x = 58
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 92 e deviazione standard s = 2. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 15x̄ = 92s = 295%t(14) = 2,145
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 11 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.
n = 25s = 11 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
16 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 1,96 e la deviazione standard delle differenze è 9,8. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 1,96sd = 9,8
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 105 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 50 su 200 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 50n₂ = 200
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 1,99
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 165/3300 = 50 per 1000 persone-anno
non esposti: 153/6100 = 25,08 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 50/25,08 = 1,993 ≈ 1,99
Risposta
IRR = 1,99
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 17
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,26·0,24 = 0,0624
Numero necessario da trattare
NNT = 1/0,0624 = 16,03 → 17
Risposta
NNT = 17
Lo stesso effetto relativo dà un NNT più piccolo quando il rischio di base è più alto.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,81
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 90,89
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margine di errore
E = 2,145·2/√15 = 1,108
Intervallo
92 ± 1,108 → [90,89, 93,11]
Risposta
limite inferiore = 90,89
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 15,3 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 24·11² = 2904
Limiti per σ²
2904/39,364 = 73,77
2904/12,401 = 234,2
Limite per σ
σ = √234,2 = 15,3 µm
Risposta
σ = 15,3 µm
Intervallo al 95% per σ: [8,589, 15,3] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 9,8/√16 = 2,45
Statistica test
t = 1,96/2,45 = 0,8
Risposta
t = 0,8
Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,369
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 105/300 = 0,35
p̂₂ = 50/200 = 0,25
p̂ = 155/500 = 0,31
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,31·0,69·(1/300 + 1/200)) = 0,04222
Statistica test
z = (0,35 − 0,25)/0,04222 = 2,369
Risposta
z = 2,369
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).