Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 63% e una specificità del 67%. Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 63%Sp = 67%
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Senza il farmaco, il 37% dei pazienti presenta un certo effetto collaterale nell’arco di un anno. Il farmaco aumenta questo rischio con un rischio relativo RR = 2,14. Trova il numero necessario per nuocere NNH: quanti pazienti devono assumere il farmaco per un anno perché un paziente in più presenti l’effetto collaterale? Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
controllo 37%RR = 2,14
NNH =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 54, 59, 40, 51, 15.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 45.
μ = 50σ = 5x = 45
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 114 h, deviazione standard nota 13 h. Modello 2: 30 telefoni, media 112 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 16 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 0,5 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 15, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 6,262 e il 2,5% sopra 27,488.
n = 16s = 0,5 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 502,9 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 12n = 25
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 12E = 2,590%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 1,91
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,63/(1 − 0,67) = 1,909 ≈ 1,91
Risposta
LR+ = 1,91
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNH = 3
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rischio con il farmaco
0,37·2,14 = 0,7918
Aumento assoluto del rischio
ARI = 0,7918 − 0,37 = 0,4218
Numero necessario per nuocere
NNH = 1/0,4218 = 2,371 → 3
Risposta
NNH = 3
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,54
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (45 − 50)/5 = −1
Risposta
z = −1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,942 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 114 − 112 = 2
Errore standard
SE = √(13²/40 + 8²/30) = 2,522
Margine di errore
E = 1,96·2,522 = 4,942
Risposta
E = 4,942 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 0,7739 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 15·0,5² = 3,75
Limiti per σ²
3,75/27,488 = 0,1364
3,75/6,262 = 0,5989
Limite per σ
σ = √0,5989 = 0,7739 µm
Risposta
σ = 0,7739 µm
Intervallo al 95% per σ: [0,3694, 0,7739] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,208
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statistica test
t = (502,9 − 500)/2,4 = 1,208
Risposta
t = 1,208
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 63
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).