Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 70 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
450 × 1 anno530 × 3 anni70 × 4 anni70 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 80% e una specificità del 93%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 3%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 80%Sp = 93%p = 3%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 57, 37, 37, 26, 28.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 76.
μ = 100σ = 20x = 76
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 52,5 e deviazione standard s = 19,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 10x̄ = 52,5s = 19,595%t(9) = 2,262
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 17 parcelle, resa media 95,5 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 9 parcelle, media 104 kg, deviazione standard 3,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 19 studenti, punteggio medio 24, deviazione standard 6,5. Gruppo 2: 12 studenti, punteggio medio 29,6, deviazione standard 6. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 19x̄₁ = 24s₁ = 6,5n₂ = 12x̄₂ = 29,6s₂ = 6
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 36 misure ha media 102,6. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 102,6σ = 12n = 3699%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 30,2 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 450·1 + 530·3 + 70·4 = 2320
Tasso di incidenza
IR = 70/2320·1000 = 30,2 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 30,2 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 99,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,93·0,97 = 0,9021
(1 − Se)·p = 0,2·0,03 = 0,006
Valore predittivo negativo
NPV = 0,9021/(0,9021 + 0,006) = 0,9934 ≈ 99,3%
Risposta
NPV = 99,3%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,27
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 185/5 = 37
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = 20² + 0² + 0² + (−11)² + (−9)² = 602
Deviazione standard
s = √(602/4) = 12,27
Risposta
s = 12,27
4.Statistica descrittiva
Risposta: z = −1,2
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (76 − 100)/20 = −1,2
Risposta
z = −1,2
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 13,95
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margine di errore
E = 2,262·19,5/√10 = 13,95
Risposta
E = 13,95
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −12,16 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (16·3² + 8·3,5²)/24 = 10,08
sp = 3,175
Margine di errore
E = 2,797·3,175·√(1/17 + 1/9) = 3,661
Intervallo
−8,5 ± 3,661 → [−12,16, −4,839]
Risposta
limite inferiore = −12,16 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,405
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (18·6,5² + 11·6²)/29 = 39,88
sp = 6,315
Errore standard
SE = 6,315·√(1/19 + 1/12) = 2,329
Statistica test
t = (24 − 29,6)/2,329 = −2,405
Risposta
t = −2,405
Con df = 29, il valore critico bilaterale al 5% è 2,045; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 107,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).