Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 310 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 820 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova la riduzione relativa del rischio RRR in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
trattamento: 54/310controllo: 287/820
RRR = %
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 83% e specificità 85%. La prevalenza della malattia è del 23%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 23%Se = 83%Sp = 85%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 57, 56, 23, 14, 32.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 72?
μ = 60σ = 12x = 72
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 36 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 11,4. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% basato su 9 osservazioni?
99%n₁ = 36E₁ = 11,490%n₂ = 9
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 24 parcelle, resa media 63,5 kg, deviazione standard 1 kg. Gruppo di parcelle 2: 7 parcelle, media 57 kg, deviazione standard 1 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
6 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 7,45 e la deviazione standard delle differenze è 7,3. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 7,45sd = 7,3
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 49 misure ha media 47,1. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 47,1σ = 20n = 4990%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: RRR = 50,2 %
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 54/310 = 0,1742
CER = 287/820 = 0,35
Riduzione relativa del rischio
ARR = 0,35 − 0,1742 = 0,1758
RRR = 0,1758/0,35 = 0,5023 ≈ 50,2%
Risposta
RRR = 50,2%
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 391
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,23 = 2300
10 000 − 2300 = 7700
Falsi negativi
FN = 2300·0,17 = 391
Risposta
FN = 391
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,65
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 14,56
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/9) = 1,277
Nuovo margine
E₂ = 11,4·1,277 = 14,56
Risposta
E₂ = 14,56
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 5,77 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (23·1² + 6·1²)/29 = 1
sp = 1
Margine di errore
E = 1,699·1·√(1/24 + 1/7) = 0,7298
Intervallo
6,5 ± 0,7298 → [5,77, 7,23]
Risposta
limite inferiore = 5,77 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,5
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 7,3/√6 = 2,98
Statistica test
t = 7,45/2,98 = 2,5
Risposta
t = 2,5
Con df = 5, il valore critico bilaterale al 5% è 2,571; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 51,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).