Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 85% e una specificità del 80%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 85%Sp = 80%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 97% e una specificità del 88%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 10%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 97%Sp = 88%p = 10%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 23, 17, 23, 41, 29, 34.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 180.
μ = 170σ = 10x = 180
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 65,5 e deviazione standard s = 3,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 16x̄ = 65,5s = 3,590%t(15) = 1,753
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 56,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 12 parcelle, media 66,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 73,6 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,6s = 5n = 25
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 120 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 74 su 150 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 74n₂ = 150
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,19
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,85)/0,8 = 0,1875 ≈ 0,19
Risposta
LR− = 0,19
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 47,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,97·0,1 = 0,097
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,12·0,9 = 0,108
Valore predittivo positivo
PPV = 0,097/(0,097 + 0,108) = 0,4732 ≈ 47,3%
Risposta
PPV = 47,3%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,49
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (180 − 170)/10 = 1
Risposta
z = 1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 67,03
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margine di errore
E = 1,753·3,5/√16 = 1,534
Intervallo
65,5 ± 1,534 → [63,97, 67,03]
Risposta
limite superiore = 67,03
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,998 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (4·7,5² + 11·7,5²)/15 = 56,25
sp = 7,5
Margine di errore
E = 1,753·7,5·√(1/5 + 1/12) = 6,998
Risposta
E = 6,998 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Statistica test
t = (73,6 − 75)/1 = −1,4
Risposta
t = −1,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,885
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 74/150 = 0,4933
p̂ = 194/450 = 0,4311
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,4311·0,5689·(1/300 + 1/150)) = 0,04952
Statistica test
z = (0,4 − 0,4933)/0,04952 = −1,885
Risposta
z = −1,885
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).