Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 235b = 92c = 5d = 248
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un trattamento riduce il rischio di un evento del 16% in termini relativi (RRR = 16%). In un gruppo di pazienti il rischio senza trattamento (CER) è del 8% in cinque anni. Trova il numero necessario da trattare NNT per cinque anni per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
RRR = 16%CER = 8%
NNT =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 34, 53, 49, 44, 25, 10, 38.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 102?
μ = 100σ = 5x = 102
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 25 e deviazione standard s = 3,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 25x̄ = 25s = 3,599%t(24) = 2,797
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 20 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 19, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 8,907 e il 2,5% sopra 32,852.
n = 20s = 10,9 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 46,33 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,33s = 10n = 36
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 48. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 50μ = 48σ = 20n = 100α = 0,10
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 3,62
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 235/240 = 0,9792
Sp = 248/340 = 0,7294
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,9792/(1 − 0,7294) = 3,619 ≈ 3,62
Risposta
LR+ = 3,62
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 79
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,08·0,16 = 0,0128
Numero necessario da trattare
NNT = 1/0,0128 = 78,13 → 79
Risposta
NNT = 79
Lo stesso effetto relativo dà un NNT più piccolo quando il rischio di base è più alto.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,87
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,4
Tavola della normale standard
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Risposta
P = 0,3446
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 23,04
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margine di errore
E = 2,797·3,5/√25 = 1,958
Intervallo
25 ± 1,958 → [23,04, 26,96]
Risposta
limite inferiore = 23,04
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 8,289 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 19·10,9² = 2257
Limiti per σ²
2257/32,852 = 68,71
2257/8,907 = 253,4
Limite per σ
σ = √68,71 = 8,289 µm
Risposta
σ = 8,289 µm
Intervallo al 95% per σ: [8,289, 15,92] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,202
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistica test
t = (46,33 − 50)/1,667 = −2,202
Risposta
t = −2,202
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 38,9 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).