Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza positivo LR+. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 195b = 28c = 115d = 122
LR+ =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 30% per una malattia. Un test con sensibilità del 72% e specificità del 91% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 30%Se = 72%Sp = 91%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 17, 60, 56, 37.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 62?
μ = 50σ = 8x = 62
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 11,6. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 256 osservazioni?
99%n₁ = 64E₁ = 11,6n₂ = 256
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 29. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 29E = 2,595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 72,9 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,9s = 12n = 64
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 8E = 1,590%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR+ = 3,37
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 195/310 = 0,629
Sp = 122/150 = 0,8133
Rapporto di verosimiglianza positivo
LR+ = 0,629/(1 − 0,8133) = 3,37
Risposta
LR+ = 3,37
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 77,4 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,72/(1 − 0,91) = 8
Odds pre-test
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Odds post-test
0,4286·8 = 3,429
Probabilità post-test
p′ = 3,429/(1 + 3,429) = 0,7742 ≈ 77,4%
Risposta
p′ = 77,4%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 18,8
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,5
Tavola della normale standard
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 5,8
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/256) = 0,5
Nuovo margine
E₂ = 11,6·0,5 = 5,8
Risposta
E₂ = 5,8
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 517
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·29/2,5)² = 516,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 517
Risposta
n = 517
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Statistica test
t = (72,9 − 75)/1,5 = −1,4
Risposta
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 77
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).