Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 430 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 210 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto un effetto collaterale. Trova il numero necessario per nuocere NNH: quanti pazienti vanno trattati perché un paziente in più presenti l’effetto collaterale? Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
trattamento: 77/430controllo: 19/210
NNH =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 81% e specificità 90%. La prevalenza della malattia è del 25%. Quanti risultati falsi positivi FP ci si aspetta?
N = 10 000p = 25%Se = 81%Sp = 90%
FP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 56, 20, 60, 40, 46.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 88.
μ = 100σ = 15x = 88
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 30 elementi ha media 38 e deviazione standard s = 14,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 30x̄ = 38s = 14,599%t(29) = 2,756
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 7 parcelle, resa media 94,5 kg, deviazione standard 6,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 15 parcelle, media 93,5 kg, deviazione standard 3 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 50,8 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,8s = 8n = 49
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 76,4. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 76,4σ = 5n = 6490%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNH = 12
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 77/430 = 0,1791
CER = 19/210 = 0,09048
Numero necessario per nuocere
ARI = 0,1791 − 0,09048 = 0,08859
NNH = 1/0,08859 = 11,29 → 12
Risposta
NNH = 12
Circa un paziente trattato su 12 presenta l’effetto collaterale a causa del trattamento.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FP = 750
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Falsi positivi
FP = 7500·0,1 = 750
Risposta
FP = 750
Dei 2775 positivi solo 2025 hanno la malattia (VPP 73%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,77
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (88 − 100)/15 = −0,8
Risposta
z = −0,8
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 45,3
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Margine di errore
E = 2,756·14,5/√30 = 7,296
Intervallo
38 ± 7,296 → [30,7, 45,3]
Risposta
limite superiore = 45,3
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −2,44 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (6·6,5² + 14·3²)/20 = 18,98
sp = 4,356
Margine di errore
E = 1,725·4,356·√(1/7 + 1/15) = 3,44
Intervallo
1 ± 3,44 → [−2,44, 4,44]
Risposta
limite inferiore = −2,44 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Statistica test
t = (50,8 − 50)/1,143 = 0,7
Risposta
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 77,43
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).