Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 30 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δmax, in mezzeria.
Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo Ireq che rispetta questo limite.
Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.
Un tubo circolare ha diametro esterno D = 210 mm e diametro interno d = 190 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 40 MPa a trazione e 150 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 4 m ha Cc = 0,2, Cr = 0,05 ed e₀ = 0,75. A metà profondità la tensione verticale efficace è 80 kPa e la pressione di preconsolidazione è 130 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 70 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
In una prova edometrica di laboratorio, un provino di argilla spesso 20 mm, drenato in alto e in basso, raggiunge il 50% di consolidazione in 12 min. In sito la stessa argilla forma uno strato spesso 9 m. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Quanti giorni t impiega lo strato in sito per raggiungere il 50% di consolidazione?
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,5 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?
Un canale rettangolare in muratura in mattoni è largo 4,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,4 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.
Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 5 m deve convogliare 9,5 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,2 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 80 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 29 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Investi €2 000 al 5% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 11 anni.
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 30 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €8 000, €7 000, €6 000, €6 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €80 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €9 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,6293. Trova z con due decimali.
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).
Risposta: RB = 30 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: RB = 13,5 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: Mx = 40 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Equilibrio dell’intera trave.
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
Risposta: Mmax = 24 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Equilibrio dell’intera trave.
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
Risposta: δmax = 3,788 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: Ireq = 1,187 × 10⁶ mm⁴
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Risposta: Pcr = 97,91 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.
Risposta: σcr = 4,441 MPa
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.
Risposta: r = 70,8 mm
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.
Risposta: Mallow = 14,48 kN·m
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.
Risposta: u = 9,81 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
Risposta: σ′ = 59,57 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
Risposta: S = 52,51 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
Risposta: t = 1688 giorni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
t = Tv·Hdr²/cv con gli stessi T_v e cv in laboratorio e in sito.
Risposta: F = 235,4 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: F = 98,88 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: Δp = 55 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Risposta: Δz = 7,872 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Q = 20,85 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Risposta: S = 0,002984 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Questo corrisponde a un dislivello di 2,984 m per chilometro.
Risposta: Pel = 156 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: H = 41,56 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
Risposta: FV = 3467 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Risposta: FV = 502258 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tu hai versato €180 000; il resto sono interessi.
Risposta: NPV = 4087 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
Risposta: NPV = −31163 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
Risposta: z = −0,33
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Trova 0,3707 dentro la tabella e leggi z.
Risposta: x = 166,5 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. Il FE exam è gestito da NCEES, che non è affiliato a ExamProblems e non lo approva.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil