Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 30 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.
Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione RB al puntello.
Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.
Una piastra di 200 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 50 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 60 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σin alto al bordo superiore.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 5,5 m ha Cc = 0,45, Cr = 0,02 ed e₀ = 0,9. A metà profondità la tensione verticale efficace è 65 kPa e il grado di sovraconsolidazione è OCR = 2,5. Un nuovo edificio aggiunge 190 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
Uno strato di argilla spesso 8,5 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 2 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 70% il fattore di tempo è Tv = 0,403. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 70% di consolidazione?
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
Acqua scorre con una velocità media di 3 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 60 L/s?
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 600 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 600 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,6 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
Una pompa con rendimento del 60% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 76 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Investi €5 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
Un progetto costa €40 000 oggi e rende €14 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €9 000, €16 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 454 e 550 h? Dai P come numero decimale.
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
Risposta: MA = 160 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risposta: RA = 16,25 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: FAB = −21,06 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
Risposta: Mx = 12,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Equilibrio dell’intera trave.
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
Risposta: δ = 26,67 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: RB = 9,375 kN
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). Per una trave iperstatica, rimuovi un vincolo sovrabbondante e imponi che lì la freccia sia nulla (congruenza).
Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.
La sola forza del puntello RB solleva l’estremo libero di RBL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.
Risposta: Pcr = 48,83 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.
Risposta: σcr = 17,27 MPa
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.
Risposta: Ix = 129,7 × 10⁶ mm⁴
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Risposta: σin alto = 36,75 MPa
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Misura ogni y dal bordo inferiore.
Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.
Risposta: σ′ = 106,1 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
Risposta: σ′ = 101,8 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
Risposta: S = 277,9 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
Risposta: t = 3,64 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Risposta: F = 80,93 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: ycp = 3,111 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Risposta: hf = 27,52 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Δz = 1,729 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Q = 0,1942 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Risposta: S = 0,0007634 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Questo corrisponde a un dislivello di 0,7634 m per chilometro.
Risposta: Pshaft = 24,85 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: Pshaft = 8,036 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: FV = 5771 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Risposta: A = 909,3 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
Risposta: DPB = 3,232 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).
Risposta: IRR = 27,15 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Risposta: P = 0,7693
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
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