Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 30 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P1 tra gli appoggi e un carico concentrato P2 in C. Trova il momento flettente Mx sotto il carico P1. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente MB all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2,5 m da A. Trova la freccia δB all’estremo libero B.
Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.
Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 60 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.
Una piastra di 120 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 144 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σin basso al bordo inferiore.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2,5 m ha Cc = 0,3, Cr = 0,05 ed e₀ = 1,15. A metà profondità la tensione verticale efficace è 100 kPa e il grado di sovraconsolidazione è OCR = 3. Un nuovo edificio aggiunge 120 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
Uno strato di argilla spesso 6,5 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 0,8 m²/anno. Poggia su roccia impermeabile, con sabbia sopra, quindi l’acqua drena solo in alto. Per una consolidazione media del 70% il fattore di tempo è Tv = 0,403. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 70% di consolidazione?
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Acqua scorre con una velocità media di 2,6 m/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?
Un canale rettangolare in terra pulita è largo 5,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,7 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1,2 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
Una pompa con rendimento del 82% eroga 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 32 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Una pompa trasferisce 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 400 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 10 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 000, €6 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 23,3 e 37,1 min? Dai P come numero decimale.
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
Risposta: RB = 47,5 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: RB = 38,4 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: FAC = −7,5 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
Risposta: Mx = 1,875 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.
Risposta: MB = −6 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.
Il carico sullo sbalzo, w·a, agisce a a/2 da B e tende le fibre superiori della trave sopra l’appoggio.
Risposta: δB = 38,44 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.
Risposta: δmax = 2,149 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: Pcr = 49,35 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.
Risposta: d = 93,98 mm
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Verifica: la snellezza KL/r è 178,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.
Risposta: Ix = 137,4 × 10⁶ mm⁴
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Risposta: σin basso = 110 MPa
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Misura ogni y dal bordo inferiore.
Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.
Risposta: σ = 87,5 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
Risposta: σ = 106 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
Risposta: S = 19,91 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.
Risposta: t = 21,28 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Risposta: F = 58,86 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: F = 202,3 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: hf = 18,95 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Δz = 12,19 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Q = 3,751 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Risposta: S = 0,007694 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Questo corrisponde a un dislivello di 7,694 m per chilometro.
Risposta: Pshaft = 22,97 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: H = 50,41 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
Risposta: PV = 300000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Risposta: A = 247,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
Risposta: EAC = 8079 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Risposta: IRR = 46,78 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Risposta: P = 0,7288
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. Il FE exam è gestito da NCEES, che non è affiliato a ExamProblems e non lo approva.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil