Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 42 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che cresce da zero in A fino a 4 kN/m in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che vale 15 kN/m alla parete e decresce fino a zero all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 4 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di bronzo (diametro 40 mm, lunghezza 400 mm, E = 110 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,2 mm in totale.
Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 120 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 80 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico Pmax.
Un albero pieno in acciaio lungo 0,5 m è sollecitato da un momento torcente di 250 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 0,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.
Un albero pieno deve trasmettere 20 kW a 3000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
Un punto ha σₓ = 90 MPa e σᵧ = 100 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τxy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 155 MPa?
In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σθ su un piano la cui normale è ruotata di 15° in senso antiorario rispetto all’asse x.
Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.
Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 50 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/250. Trova l’altezza minima hreq della sezione.
Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.
Una palla viene lanciata a 40° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova l’altezza massima H raggiunta dalla palla.
Una palla viene lanciata a 25° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 15 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Una pallina di 10 kg è appesa a un filo leggero di lunghezza 2 m. Viene spostata lateralmente finché il filo forma 60° con la verticale e lasciata da ferma. Trova la tensione T nel filo quando la pallina passa per il punto più basso.
Una molla di rigidezza 1000 N/m alla base di un pendio di 25° viene compressa di 8 cm contro un blocco di 0,5 kg e rilasciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e pendio è 0,25. Quanto risale d il blocco lungo il pendio dal punto di rilascio prima di fermarsi? (Trascura il breve tratto in cui la molla spinge, cioè considera attrito e gravità su tutta la distanza d.)
Una massa di 25 kg su una molla con rigidezza di 25 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,5. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 5 kg è appesa alla molla k₃ = 25 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 12 kN/m e k₂ = 80 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Una macchina termica riceve calore da una sorgente a 850 °C e cede calore all’ambiente a 25 °C. Il suo rendimento termico effettivo è del 37%. Trova il suo rendimento di secondo principio ηII, il rapporto tra il rendimento effettivo e il rendimento di Carnot.
Una pompa di calore fornisce 20 kW di calore a un impianto di riscaldamento a 55 °C, prelevando calore da una sorgente a 7 °C. Il suo COP effettivo è il 30% del COP di Carnot tra queste temperature. Trova la potenza elettrica Ẇ che assorbe.
Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 20 e un rapporto di combustione rc = v₃/v₂ = 3. All’inizio della compressione l’aria è a 295 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T3 alla fine dell’introduzione di calore, in K.
Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 14. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1400 K. Entrambe le macchine sono isoentropiche. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto wnet per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 110 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
Un venturimetro orizzontale (ingresso 100 mm, gola 50 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 280 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,97. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
Acqua scorre con una velocità media di 0,8 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 80 L/s?
Una pompa con rendimento del 85% eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 19 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Una parete è composta da 250 mm di calcestruzzo e 100 mm di cartongesso, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
Una parete di 150 mm lana minerale e 75 mm vetro separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -3 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
Un motore da 1,5 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 48 denti, che ingrana con una ruota con 80 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 96 %. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.
In un rotismo composto, la ruota A (12 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 2900 rpm, aziona la ruota B (32 denti). La ruota C (20 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (24 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Trova f(t) per F(s) = (5s + 38)/(s² + 10s + 25) e calcola f(0,4).
Un sistema è descritto dall’equazione differenziale y″ + 4y′ + 13y = 5u, con ingresso u(t) e uscita y(t). Trova la sua funzione di trasferimento G(s) = Y(s)/U(s) (condizioni iniziali nulle) e calcola la risposta all’impulso g(t) per t = 0,8 s. Trova g(0,8).
Un processo G(s) = 4/(s + 8) è controllato in un anello di retroazione negativa il cui sensore ha guadagno H = 0,5. Trova la costante di tempo τ dell’anello chiuso.
Il processo G(s) = 60/(s(s + 8)) è in un anello di retroazione negativa con guadagno del sensore H = 1. I poli ad anello chiuso sono complessi. Trova la loro parte immaginaria ωd (il valore positivo), in rad/s.
Un sistema ha funzione di trasferimento G(s) = 82/(s² + 5s + 82) e riceve un ingresso a gradino unitario. I poli sono s = σ ± jωd. Trova la parte reale σ.
Una massa m = 10 kg è appesa a una molla k = 2000 N/m con uno smorzatore viscoso c = 28 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). In equilibrio a riposo, viene applicata improvvisamente una forza costante F = 5 N. Trova il tempo tp in cui lo spostamento è massimo.
Un anello a retroazione unitaria con G(s) = K/(s(s + 4)) deve seguire la rampa r(t) = 2t con un errore a regime di 0,05. Trova il guadagno K.
Un controllore proporzionale K = 50 comanda il sistema G(s) = 10/(s(s + 6)) in un anello a retroazione unitaria. Trova la sovraelongazione percentuale %OS della risposta al gradino.
Risposta: RB = 6,667 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: MA = 220 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risposta: P = 40,96 kN
Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.
Risposta: Pmax = 182,8 kN
Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.
Risposta: d = 36,75 mm
Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.
In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.
Risposta: d = 15,94 mm
Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.
In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.
Risposta: E (x = 4 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
Risposta: τxy = 59,79 MPa
Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Risposta: σθ = 94,95 MPa
Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Risposta: δ = 7,75 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: hreq = 165,9 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.
Risposta: Pcr = 39,48 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.
Risposta: σcr = 79,31 MPa
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.
Risposta: H = 8,424 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
In cima la velocità verticale è zero: vy² = 2gH.
Risposta: x = 47,34 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: T = 196,2 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Verifica: T = mg(3 − 2cos θ) = 196,2 N.
Risposta: d = 1,005 m
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: fd = 4,359 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 9,979 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 e k2 sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k3, quindi combinale come reciproci.
Risposta: ηII = 50,37 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Risposta: Ẇ = 9,752 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Risposta: T3 = 2933 K
Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Risposta: wnet = 405,7 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Lavoro netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede ws/ηc e la turbina fornisce ηt·ws.
Rapporto dei lavori (back-work ratio): wc/wt = 45,55%.
Risposta: p2 = 105,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
Risposta: Q = 16,37 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
Risposta: hf = 0,4349 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Δz = 2,139 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Pshaft = 34,62 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: H = 37,52 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
Risposta: Q̇ = 219,1 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Risposta: Q̇ = 35,97 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Risposta: T2 = 15,81 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nout = 906,3 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 3,2 : 1
Risposta: f(0.4) = 1,38
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Risposta: g(0.8) = 0,2273
Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lims→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Risposta: τ = 0,1 s
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Risposta: ωd = 6,633 rad/s
Algebra degli schemi a blocchi: i blocchi in serie si moltiplicano (G₁·G₂), i blocchi in parallelo si sommano (G₁ + G₂), e un anello con cammino diretto G e cammino di retroazione H si riduce a T = G/(1 + G·H) per la retroazione negativa e a G/(1 − G·H) per la retroazione positiva. Riduci prima gli anelli interni, poi procedi verso l’esterno. I poli ad anello chiuso sono le radici dell’equazione caratteristica 1 + G(s)H(s) = 0. Per un anello stabile, un ingresso a gradino di ampiezza A dà l’uscita a regime A·T(0); con retroazione unitaria l’errore a regime a un gradino è A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Risposta: σ = −2,5
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Il denominatore deve coincidere con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Risposta: tp = 0,2232 s
Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo di picco tp = π/ωd, e tempo di assestamento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Risposta: K = 160
Errore a regime: in un anello a retroazione unitaria con funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) l’errore è E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e per il teorema del valore finale ess = lims→0 s·E(s). Il tipo del sistema è il numero di poli di G(s) in s = 0. Le costanti d’errore sono Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), tutte per s → 0. Un gradino di ampiezza A dà ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t dà A/Kv e una parabola A·t²/2 dà A/Ka. Un anello di tipo 0 segue un gradino con un errore finito, un anello di tipo 1 lo segue esattamente e segue una rampa con un errore finito.
Un guadagno elevato rende questo anello molto poco smorzato: ζ = 0,1581. Questo conflitto è il motivo per cui si usano i compensatori.
Risposta: %OS = 65,36 %
Controllo P, PI e PID: il controllore C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s agisce sull’errore. Un guadagno proporzionale rende l’anello più veloce e riduce l’errore di un sistema di tipo 0, ma non lo elimina mai. Il termine integrale aggiunge un polo in s = 0: il tipo del sistema sale di uno e un gradino viene seguito senza errore. Il termine derivativo aggiunge smorzamento. Per scegliere i guadagni, scrivi il polinomio caratteristico ad anello chiuso e confrontalo con s² + 2ζωns + ωn². Poi %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).
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