Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 200 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 57 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 57 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un venturimetro orizzontale (ingresso 250 mm, gola 125 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 70 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,97. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 70 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,3 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,3 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 28 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 28 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 32 m. Il rendimento della pompa è del 80% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 88%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 25 L/sH = 32 mηpump = 80%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 15 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 40 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 206 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN
Risposta
F = 206 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 37,08 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·1,5 = 37,08 kN
Risposta
F = 37,08 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 228,2 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·57000/(1000·(1 − 0,3164))) = 12,91 m/s
v1 = 7,264 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,01767·12,91 = 0,2282 m³/s = 228,2 L/s
Risposta
Q = 228,2 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 51,14 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Differenza di pressione dal manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa
Velocità nella gola
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·8652/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,296 m/s
Portata reale
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,01227·4,296 = 0,05114 m³/s = 51,14 L/s
Risposta
Q = 51,14 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,5168 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,25)·1,3²/(2·9,81) = 0,5168 m
Risposta
hf = 0,5168 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 289,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
28 = (20 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·28/32,7) = 4,099 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,099·0,07069 = 0,2897 m³/s = 289,7 L/s
Risposta
Q = 289,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 11,15 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·32 = 7,848 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 7,848/0,8 = 9,81 kW
Potenza elettrica
Pel = 9,81/0,88 = 11,15 kW
Risposta
Pel = 11,15 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 11,21 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 8)·0,2611 = 5,571 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 15 + 5,571 = 20,57 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·20,57/0,72 = 11,21 kW
Risposta
Pshaft = 11,21 kW
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