Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 40 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 2 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,65. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 2 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 90 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 30 mm, 4 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 90 kPa (relativa)h = 4 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 6 L/s in un tubo lungo 300 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 6 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,02) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 0,2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 85% eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 38 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 10 L/sH = 38 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 58,86 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Risposta

F = 58,86 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,595 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·3 = 90,64 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 1/(3,5·3) = 3,595 m

Risposta

y_cp = 3,595 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 5,117 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,001257·6,264 = 0,005117 m³/s = 5,117 L/s

Risposta

Q = 5,117 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 16,08 m/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(90000/1000 + 9,81·4)) = 16,08 m/s

Risposta

v = 16,08 m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 1,963 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,7639²/(2·9,81) = 0,02975 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,1)·0,7639²/(2·9,81) = 1,963 m

Risposta

h_f = 1,963 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 1,06 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 13,33 + 1,9)·0,06529 = 1,06 m

Risposta

H = 1,06 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 4,386 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·38 = 3,728 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 3,728/0,85 = 4,386 kW

Risposta

P_shaft = 4,386 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 28,22 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0,408 = 21,22 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 7 + 21,22 = 28,22 m

Risposta

H = 28,22 m

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