Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 19 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 180 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 19 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 40 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 260 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 40 mmp₁ = 260 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,1 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,1 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 8 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 8 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 42 m. Il rendimento della pompa è del 80% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 150 L/sH = 42 mη_pump = 80%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 13 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 18,39 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN

Risposta

F = 18,39 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,818 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 0,2813/(2,75·1,5) = 2,818 m

Risposta

y_cp = 2,818 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 188,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,019/0,01767 = 1,075 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,019/0,004418 = 4,301 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(4,301² − 1,075²)/1000 = 180 + 8,67 = 188,7 kPa

Risposta

p₁ = 188,7 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 152,6 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(200/40)² = 12,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 12,5²)/1000 = −78 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−78) − 29,43 = 152,6 kPa

Risposta

p₂ = 152,6 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 10,65 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,25)·1,1²/(2·9,81) = 1,085 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,085 = 10648 Pa = 10,65 kPa

Risposta

Δp = 10,65 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 41,54 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

8 = (24 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/28,4) = 2,351 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 2,351·0,01767 = 0,04154 m³/s = 41,54 L/s

Risposta

Q = 41,54 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 82,18 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·42 = 61,8 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 61,8/0,8 = 77,25 kW

Potenza elettrica

P_el = 77,25/0,94 = 82,18 kW

Risposta

P_el = 82,18 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 29,84 kW

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,3305 = 14,38 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 13 + 14,38 = 27,38 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·27,38/0,72 = 29,84 kW

Risposta

P_shaft = 29,84 kW

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