Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 2 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 1,5 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 200 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 150 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 150 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 150 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 100 mm salendo di 1 m. Nella sezione 1 la pressione è 170 kPa e la velocità è 1,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 170 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 0,9 m/sD = 250 mmL = 150 mf = 0,015

Acqua scorre con una velocità media di 0,9 m/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

V = 0,9 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 0,2sbocco liberoH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× curva (K = 0,3)

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 0,2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 20 L/sH = 64 m

Una pompa con rendimento del 60% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 64 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.

Q = 20 L/sH = 64 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 50 L/sΔz = 18 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 18 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 154,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
paratoiad = 2 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·4,5 = 154,5 kN

Risposta

F = 154,5 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: ycp = 3,25 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
paratoiad = 1,5 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 2,25/(3·3) = 3,25 m

Risposta

ycp = 3,25 m
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 133,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/100)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−16,88) = 133,1 kPa

Risposta

p2 = 133,1 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 157 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(150/100)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−3,174) − 9,81 = 157 kPa

Risposta

p2 = 157 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: hf = 0,3716 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,25)·0,9²/(2·9,81) = 0,3716 m

Risposta

hf = 0,3716 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 5,549 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 11 + 1,6)·0,408 = 5,549 m

Risposta

H = 5,549 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pshaft = 20,93 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·64 = 12,56 kW

Potenza all’albero

Pshaft = Ph/η = 12,56/0,6 = 20,93 kW

Risposta

Pshaft = 20,93 kW
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 27,38 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,408 = 9,385 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + hL = 18 + 9,385 = 27,38 m

Risposta

H = 27,38 m

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