Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 130 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 130 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 20 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 0,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 3,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 20 mmz_C = +0,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,7 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,7 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 400 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 76 m mentre il suo albero assorbe 39,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 40 L/sH = 76 mP_shaft = 39,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 16 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 300 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 49,66 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Risposta

F = 49,66 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 73,58 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Risposta

F = 73,58 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 128,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 130 + (−1,875) = 128,1 kPa

Risposta

p₂ = 128,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 2,603 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0003142·8,287 = 0,002603 m³/s = 2,603 L/s

Risposta

Q = 2,603 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 14,86 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·2,7²/(2·9,81) = 14,86 m

Risposta

h_f = 14,86 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 4,128 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 24 + 3,1)·0,1469 = 4,128 m

Risposta

H = 4,128 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 74,93 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·76 = 29,82 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 29,82/39,8 = 74,93%

Risposta

η = 74,93%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 49,07 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,1291 = 2,485 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 30,58 + 2,485 = 49,07 m

Risposta

H = 49,07 m

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