Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 150 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 4 m. Nella sezione 1 la pressione è 390 kPa e la velocità è 2,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,1 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,1 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 82% eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 62 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 30 L/sH = 62 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 19 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 80%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 19 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 24,52 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Risposta

F = 24,52 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 74,16 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·4 = 74,16 kN

Risposta

F = 74,16 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 145,8 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−4,219) = 145,8 kPa

Risposta

p₂ = 145,8 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 294 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(150/75)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−56,72) − 39,24 = 294 kPa

Risposta

p₂ = 294 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 36,3 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,075)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,7 = 36300 Pa = 36,3 kPa

Risposta

Δp = 36,3 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 3,478 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Perdita di carico totale

h_f = 30·0,102 = 3,06 m

h_m = 4,1·0,102 = 0,4182 m

Δz = h_f + h_m = 3,478 m

Risposta

Δz = 3,478 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 22,25 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·62 = 18,25 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 18,25/0,82 = 22,25 kW

Risposta

P_shaft = 22,25 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 38,42 kW

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 6)·0,3305 = 20,16 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 19 + 20,16 = 39,16 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·39,16/0,8 = 38,42 kW

Risposta

P_shaft = 38,42 kW

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