Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 1 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 1 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 100 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 250 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
C211,5 m4 md = 32 mmpC​ = ?

Un tubo flessibile con diametro interno di 32 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 4 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta pC nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 32 mmzC = +1,5 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 2,6 m/sD = 300 mmL = 100 mf = 0,018

Acqua scorre con una velocità media di 2,6 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

V = 2,6 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 0,2Δz = ?L = 100 m, D = 100 mm, f = 0,0184× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 30 L/sH = 20 m

In una prova, una pompa eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 20 m mentre il suo albero assorbe 7,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 30 L/sH = 20 mPshaft = 7,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
350 kPa (relativa)PQ = 60 L/sΔz = 7 mL = 600 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 8

Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 350 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 60 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 110,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
paratoiad = 1 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Risposta

F = 110,4 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 92,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
paratoiad = 1 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,5·3 = 92,7 kN

Risposta

F = 92,7 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 245,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−4,758) = 245,2 kPa

Risposta

p2 = 245,2 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: pC = 47,34 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,859²/2 + 9,81·1,5)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa

Risposta

pC = 47,34 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: hf = 2,067 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,3)·2,6²/(2·9,81) = 2,067 m

Risposta

hf = 2,067 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 10,79 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Perdita di carico totale

hf = 18·0,5164 = 9,296 m
hm = 2,9·0,5164 = 1,498 m
Δz = hf + hm = 10,79 m

Risposta

Δz = 10,79 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 79,54 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·20 = 5,886 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 5,886/7,4 = 79,54%

Risposta

η = 79,54%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 46,58 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 8)·0,07615 = 3,899 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 35,68 + 3,899 = 46,58 m

Risposta

H = 46,58 m

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