Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 200 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 40 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 270 kPa e la velocità è 2,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 8 L/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 80% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 14 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 80 L/sH = 14 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 11 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 200 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 193,1 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Risposta

F = 193,1 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 362 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·9 = 362 kN

Risposta

F = 362 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 170 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(200/100)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−30) = 170 kPa

Risposta

p₂ = 170 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 138,8 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−42,95) − 88,29 = 138,8 kPa

Risposta

p₂ = 138,8 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,7932 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,1)·1,019²/(2·9,81) = 0,7932 m

Risposta

h_f = 0,7932 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 6,294 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 12 + 11,1)·0,2611 = 6,294 m

Risposta

H = 6,294 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 13,73 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·14 = 10,99 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 10,99/0,8 = 13,73 kW

Risposta

P_shaft = 13,73 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 35,06 m

Velocità

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,1469 = 3,672 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20,39 + 3,672 = 35,06 m

Risposta

H = 35,06 m

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