Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 30 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 4,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,64. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4,5 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 20 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 4,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta p_C nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +2,5 mz₂ = −4,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 85% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 20 L/sH = 34 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 3 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 3η = 75%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 9,81 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

Risposta

F = 9,81 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 37,08 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·1,5 = 37,08 kN

Risposta

F = 37,08 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 4,251 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0007069·9,396 = 0,004251 m³/s = 4,251 L/s

Risposta

Q = 4,251 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p_C = 32,63 kPa

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa

Risposta

p_C = 32,63 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 15 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,075)·1²/(2·9,81) = 1,529 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,529 = 15000 Pa = 15 kPa

Risposta

Δp = 15 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,932 m

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perdita di carico totale

h_f = 26,4·0,07615 = 2,01 m

h_m = 12,1·0,07615 = 0,9214 m

Δz = h_f + h_m = 2,932 m

Risposta

Δz = 2,932 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 7,848 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·34 = 6,671 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 6,671/0,85 = 7,848 kW

Risposta

P_shaft = 7,848 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 15,64 kW

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0,3305 = 5,949 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 9 + 5,949 = 14,95 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·14,95/0,75 = 15,64 kW

Risposta

P_shaft = 15,64 kW

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