Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 2,5 mH = 1,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 1,5 mH = 2 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
d1​ = 100 mmd2​ = 50 mm12p1​ − p2​ = 28 kPaQ = ?

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 100 mm e diametro della gola di 50 mm. La pressione all’ingresso è 28 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 28 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 200 mm, p1​ = 310 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 10 m. Nella sezione 1 la pressione è 310 kPa e la velocità è 1,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 310 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 2,6 m/sD = 75 mmL = 50 mf = 0,025

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,6 m/s in un tubo orizzontale lungo 50 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,6 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 2Δz = 23 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0,024× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 23 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 23 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 50 L/sH = 36 m

Una pompa con rendimento del 78% eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 36 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.

Q = 50 L/sH = 36 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 80 L/sΔz = 13 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0,018, ΣK = 5

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 13 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 82%
Pshaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 71,74 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
paratoiad = 2,5 mH = 1,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN

Risposta

F = 71,74 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 92,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
paratoiad = 1,5 mH = 2 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,5·3 = 92,7 kN

Risposta

F = 92,7 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 15,18 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v1 = v2·(50/100)² = 0,25·v2

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·28000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,729 m/s
v1 = 1,932 m/s

Portata

Q = A2·v2 = 0,001963·7,729 = 0,01518 m³/s = 15,18 L/s

Risposta

Q = 15,18 L/s
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 188,9 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(200/100)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−22,97) − 98,1 = 188,9 kPa

Risposta

p2 = 188,9 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 56,33 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,075)·2,6²/(2·9,81) = 5,742 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·5,742 = 56333 Pa = 56,33 kPa

Risposta

Δp = 56,33 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 150,4 L/s

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

23 = (15 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/19,7) = 4,786 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 4,786·0,03142 = 0,1504 m³/s = 150,4 L/s

Risposta

Q = 150,4 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pshaft = 22,64 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·36 = 17,66 kW

Potenza all’albero

Pshaft = Ph/η = 17,66/0,78 = 22,64 kW

Risposta

Pshaft = 22,64 kW
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pshaft = 18,29 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 5)·0,3305 = 6,114 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + hL = 13 + 6,114 = 19,11 m

Potenza all’albero

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·19,11/0,82 = 18,29 kW

Risposta

Pshaft = 18,29 kW

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