Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 30 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 3 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,63. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 3 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 50 mm salendo di 4 m. Nella sezione 1 la pressione è 120 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 120 kPav1 = 1 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 2 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 2 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 150 L/s?
Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 28 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 90%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 10 L/sH = 28 mηpump = 82%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 15 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 200 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 14,71 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN
Risposta
F = 14,71 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 18,54 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·1 = 18,54 kN
Risposta
F = 18,54 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 3,417 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità ideale del getto
√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Portata reale
Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0007069·7,672 = 0,003417 m³/s = 3,417 L/s
Risposta
Q = 3,417 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 40,76 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 120 + (−40) − 39,24 = 40,76 kPa
Risposta
p2 = 40,76 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 3,173 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 3,173 m
Risposta
hf = 3,173 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 2,578 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
Perdita di carico totale
hf = 8,333·0,2295 = 1,913 m
hm = 2,9·0,2295 = 0,6656 m
Δz = hf + hm = 2,578 m
Risposta
Δz = 2,578 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 3,722 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·28 = 2,747 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 2,747/0,82 = 3,35 kW
Potenza elettrica
Pel = 3,35/0,9 = 3,722 kW
Risposta
Pel = 3,722 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 40,5 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8,8 + 8)·0,3046 = 5,117 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 20,39 + 5,117 = 40,5 m
Risposta
H = 40,5 m
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