Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 2 mH = 2,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 2 mH = 1,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 200 mm, p1​ = 300 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 300 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 300 kPav1 = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12Δh = 260 mmmercurioQ = ?

Un venturimetro orizzontale (ingresso 250 mm, gola 125 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 260 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,96. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 260 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 1,1 m/sD = 150 mmL = 150 mf = 0,02

Acqua scorre con una velocità media di 1,1 m/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

V = 1,1 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0,0224× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 80 L/sH = 32 m

In una prova, una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 32 m mentre il suo albero assorbe 30,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 80 L/sH = 32 mPshaft = 30,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 50 L/sΔz = 24 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,02, ΣK = 8

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 24 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 24 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 159,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
paratoiad = 2 mH = 2,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Risposta

F = 159,4 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 40,47 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
paratoiad = 2 mH = 1,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Risposta

F = 40,47 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 253,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(200/100)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 300 + (−46,88) = 253,1 kPa

Risposta

p2 = 253,1 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 97,55 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,26 = 32138 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·32138/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,28 m/s

Portata reale

Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,01227·8,28 = 0,09755 m³/s = 97,55 L/s

Risposta

Q = 97,55 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: hf = 1,233 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,15)·1,1²/(2·9,81) = 1,233 m

Risposta

hf = 1,233 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 9,671 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perdita di carico totale

hf = 29,33·0,2611 = 7,66 m
hm = 7,7·0,2611 = 2,011 m
Δz = hf + hm = 9,671 m

Risposta

Δz = 9,671 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 82,07 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·32 = 25,11 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 25,11/30,6 = 82,07%

Risposta

η = 82,07%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 32,7 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 8)·0,408 = 8,705 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + hL = 24 + 8,705 = 32,7 m

Risposta

H = 32,7 m

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