Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 13 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 80 mm a 40 mm. La pressione nella sezione stretta è 270 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 13 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 270 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 50 mm e una pressione relativa di 50 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 25 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 50 kPa (relativa)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,6 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,6 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 75% eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 58 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 25 L/sH = 58 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 26 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 26 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 51,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN

Risposta

F = 51,5 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,667 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,5·9 = 500,6 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 6,75/(4,5·9) = 4,667 m

Risposta

y_cp = 4,667 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 320,2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,013/0,005027 = 2,586 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,013/0,001257 = 10,35 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 270 + ½·1000·(10,35² − 2,586²)/1000 = 270 + 50,17 = 320,2 kPa

Risposta

p₁ = 320,2 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 5,437 m

Velocità di uscita

β = 25/50 = 0,5

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0,9375)) = 10,33 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 10,33²/(2·9,81) = 5,437 m

Risposta

H = 5,437 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 1,305 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,2)·1,6²/(2·9,81) = 1,305 m

Risposta

h_f = 1,305 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 5,318 m

Velocità

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perdita di carico totale

h_f = 8,333·0,408 = 3,4 m

h_m = 4,7·0,408 = 1,918 m

Δz = h_f + h_m = 5,318 m

Risposta

Δz = 5,318 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 18,97 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·58 = 14,22 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 14,22/0,75 = 18,97 kW

Risposta

P_shaft = 18,97 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 44,56 kW

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,3305 = 10,91 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 26 + 10,91 = 36,91 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·36,91/0,65 = 44,56 kW

Risposta

P_shaft = 44,56 kW

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