Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 20 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 150 mm. La pressione nella sezione stretta è 170 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 20 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 50 mm salendo di 4 m. Nella sezione 1 la pressione è 190 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1 m/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 100 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 48 m. Il rendimento della pompa è del 75% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 95%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 80 L/sH = 48 mη_pump = 75%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 11 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 200 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 104,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Risposta

F = 104,8 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 45,25 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·3 = 45,25 kN

Risposta

F = 45,25 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 170,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(1,132² − 0,6366²)/1000 = 170 + 0,4378 = 170,4 kPa

Risposta

p₁ = 170,4 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 142,6 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−8,125) − 39,24 = 142,6 kPa

Risposta

p₂ = 142,6 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 12,23 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,05)·1²/(2·9,81) = 12,23 m

Risposta

h_f = 12,23 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 6,488 m

Velocità

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 22,5 + 11,4)·0,1859 = 6,488 m

Risposta

H = 6,488 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 52,87 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·48 = 37,67 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 37,67/0,75 = 50,23 kW

Potenza elettrica

P_el = 50,23/0,95 = 52,87 kW

Risposta

P_el = 52,87 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 48,9 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0,3305 = 17,52 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20,39 + 17,52 = 48,9 m

Risposta

H = 48,9 m

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